Funciones Cuadráticas (10)

Problema 10
Dada la función f(x) = (x+3)² - 9
A) Decidir, en cada caso, si es cierta la afirmación:
        l) Hay dos valores de x tales que f(x) = 160
        ll) Hay dos valores de x tal que f(x) = 5
        lll) Hay dos valores de x tal que f(x) = -20
B) Para cada una de las siguientes frases, completarlas con un número para que resulten verdaderas:
        l) Hay un único valor de x tal que f(x) = .........
        ll) No hay valor de x tal que f(x) = ........
        lll) Hay tres valores de x tales que f(x) = ........
C) Hacer un gráfico aproximado de la función f.

Resolución:
A. l) Sí, 10 y -16

    13² = 169
(-13)² = 169


Verdadero





ll)

Verdadero






lll)

Absurdo, porque los cuadrados siempre son positivos (o cero) 

B. l) -9 (en x = -3)
    ll) -17; -16; -15; -14;..
    lll) No se puede completar con nada.

C. Conjunto Imagen: Conjunto de todos los valores que toma la cuenta [-9 ; +∞)

Ordenada al origen
(intersección con eje Y)
Es la imagen de x = 0

Funciones Cuadráticas (9)

Problema 9
Dadas las siguientes funciones, hallar el máximo o el mínimo valor que puede alcanzar cada una de las funciones y en qué valor de x lo alcanza.
a) f(x)=(x+5)²-4
b) g(x)=5-(4x+3)²
c) h(x)=(7x-5)²+18

Resolución:

Término cuadrático
Término constante

a. f(x)=(x+5)²-4

Mínimo: -4 en x= -5  
El término cuadrático está sumando; entonces hay un mínimo.

b. g(x)=-2(x-5)²+1

Máximo: 1 en x= 5
El término cuadrático está restando; entonces hay un máximo.

c. h(x)=5-(4x+3)²

Máximo: 5 en x= -3/4
El término cuadrático está restando; entonces hay un máximo.

d. i(x)=(7x-5)²+18

Mínimo: 18 en x= 5/7
El término cuadrático está sumando; entonces hay un mínimo.

Los "cuadrados" son siempre positivos (o cero). 
El máximo/mínimo ocurre cuando se anula ("da cero") el término cuadrático.

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Las expresiones de las formas

F(x) = a (x + b)² + c

a tiene que ser distinto a cero; si es cero, al multiplicarse con el término cuadrático desaparece y no es más cuadrado.

Funciones Cuadráticas (8)

Problema 8
Dada la siguiente función f(x)=(x-2)²+4

a) Busque, si existen, otros valores de dominio que tengan la misma imagen que x=5. ¿Cuántos hay?
b) Busque, si existen, otros valores de dominio que tengan la misma imagen que x=-3. ¿Cuántos hay?
c) Busque, si existen, otros valores de dominio que tengan la misma imagen que x=2. ¿Cuántos hay?
d) Propongan, si existe, valores de dominio cuya imagen sea 13. ¿Cuántos hay?
e) Propongan, si existen, valores de dominio cuya imagen sea 3. ¿Cuántos hay?
f) Propongan, si existen, valores de dominio cuya imagen sea 4. ¿Cuántos hay?
g) Analicen cuales de los siguientes gráficos podría corresponder a la función analizada.

Resolución

a) Uno más (-2). Porque con este número cuando lo que esta en paréntesis es elevado al cuadrado de 9+4=13
b) Uno más (7).(7-2) ²+4=24  /   (-3-2) ²+4=29
c) No hay ninguno, porque no hay otro valor que al restarle 2 me de 0, entonces la ecuación no dará lo mismo.
d) Valores del dominio cuya imagen sea 13: 5 y -1
e) Valores del dominio cuya imagen sea 3. 

• Porque (x-2)² es siempre positivo o cero, y (x-2)² se le está sumando a 4.
• Porque el mínimo valor que toma la cuenta es 4
• No hay valores de x cuya imagen de 3; para que sea 3 (x-2)² tiene que ser -1. Pero no puede ser negativo por que es un cuadrado.  

(x-2)²=-1  

ABSURDO MATEMÁTICO 

f) Valores de dominio cuya imagen sea 4

4=(x-2)²+4

Entonces, (x-2)²=0

x-2=0

x=2

Está e mínimo de la función.

g)  • Gráfico 4: No corresponde porque la función no tiene valores negativos de Y.

     • Gráfico 5 y 2: No corresponde porque el mínimo valor se produce en 2 (no en un número negativo)

     • Gráfico 1: No corresponde porque la función no tiene máximo, tiene un mínimo.

     • Gráfico 3 y 6: No corresponde porque no poseen simetría 

PARA RECORDAR:

• Hay valores de la variable Y que son imagen de dos valores de X compañeros (por ejemplo: el 13 es la imagen del 5 y del -1)
• Hay un único valor de Y que es imagen de un solo valor de X (por ejemplo: el 4 tiene como imagen solo el 2)
• Hay valores de Y que no son imagen de ningún valor de X (por ejemplo: 3; 2; 1; ...)

Para miércoles 10

Tarea para miércoles: Terminar problema 8

No se olviden de entregar tareas pendientes y resúmenes de clase!