UNIDAD Nº 1: Los números reales

- Números enteros en la recta numérica.

• Conjunto de números enteros (): Está formado por los números naturales, sus opuestos y el cero.

Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica. 

Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:

-Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.

- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera. Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:

Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero. Puedes ver que el número 3 está más alejado del 0, es el número más grande que ubicamos en la recta.

♥ Ejercicios: 

1. En la siguiente recta están ubicados el 0 y el 8. ¿Dónde se ubica el número 5? ¿Dónde se ubican los números -1 y -2?
2. En la siguiente recta están ubicados los números 0; 1 y a. ¿Dónde se ubicaran los números a-1; -a y   -a+1?

♥ Resoluciones: 

1.  

2.
 

Noción de opuestos o inverso aditivo.

El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número, esto es, el inverso aditivo de un número x es - x. La suma de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0. 


- Números racionales en la recta numérica.

• Conjunto de números racionales (): Está formado por todos los números que pueden ser expresados como fracción (es decir como cociente de dos números enteros) o mediante expresiones decimales (con parte decimal finita o parte decimal periódica).

-Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador.
Por ejemplo:
                                 

La fracción 3/5 se ubica en la recta, en el punto amarillo. El segmento de recta que representa al número 1 lo dividimos en cinco partes que están indicadas de color rojo. De esas cinco partes, tomamos las tres que están señaladas con color azul.
Si prestas atención verás que el número 3/5 está más cerca del 0, por lo tanto es más pequeño que el número 1.

Diferentes formas de representación de números racionales: fracciones y expresiones decimales.

Para representar números decimales en la recta numérica debemos primero transformalos a fracción y luego podremos graficarlos como ya hemos aprendido anteriormente.
Veamos los siguientes números decimales:
0,3 y 2,45
Al leerlos tenemos:
0,3 = tres décimos, ya que, después de la coma tenemos 1 cifra. Si lo representamos como fracción tenemos 

Para representar el decimal 0,7 observamos que es número comprendido entre el 0 y 1. Dividimos el segmento en unidad entre los números 0 y 1 en 10 partes iguales y tomamos 7 de esas partes contando a la derecha ( ya que 0,7 es positivo) desde el cero.

♥ Ejercicios:

1. Ubica -1 en la recta que sigue:

2. Ubica 3/4 en la recta que sigue:

♥ Resoluciones: 

1. 

2. 

- Números irracionales en la recta numérica.

• Conjunto de números irracionales (): Está formado por aquellos números cuyo desarrollo decimal es infinito (), es decir que no se pueden expresar como fracción.

 ♥ Ejercicios:

1. Ubicar el número √2 en una recta numérica. Demostrar que √2 no es un número racional.
2. ¿Existe algún número irracional cercano a √2? ¿Y alguno que se encuentre próximo al número π? Justificar cada respuesta.
3. Determinar, en cada caso, si es posible escribir a los siguientes números como fracción. Justificar. Luego ubicar en la recta numérica dichos números.    a.  √5    b.  √7    c.   √9/4

- Conjunto de los números reales.

• Números reales (): Conjunto formado por los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. 

Distancia entre números e intervalos de números

En una recta numérica se pueden ubicar todos los números reales. A cada número real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un número real. Es decir, los números reales completan la recta numérica.

A la recta numérica se la conoce como eje real.

 =   

   =    

(entre Q y II no hay nada)

1.  Todos los números que están a la derecha de m (son números b mayores que m).

Se escribe:  b  (m; +∞) Sí b > m

2.  Los números b que se ubican a la izquierda de -m tienen también una distancia al cero mayor que m

Se escribe: b  (-∞;+∞) Sí b <  -m

Conclusión: El conjunto de todos los números reales "b" que verifican que la distancia al cero es mayor que "m" esta formado por los números menores que "-m" o que sean mayores que "m"

Simbólicamente:

(-∞;-m)  (m;+∞)

1 ♥ Se denomina intervalo abierto a la escritura (a ; b) y significa que se consideran todos los números reales X que se encuentran entre a y b

Simbólicamente:  X ∈ (a ; b) Sí a < X < b
Ejemplo: Números reales mayores que 3 y menores que 7

3 < X < 7       

(3 ; 7)

2 ♥ Se denomina intervalo cerrado a la escritura [a ; b] y significa que se consideran todos los números reales X que se encuentran entre a y b incluyendo al a y al b.

Simbólicamente: X ∈ [a ; b] Sí a ≤ X ≤ b
Ejemplo: Idem. al 1 pero incluyendo a los números 3 y 7.

3 ≤ X ≤ 7

[3 ; 7]

3 ♥ Para designar a todos los números reales mayores que m se escribe (m;+∞). Analógicamente, el intervalo que contiene a todos. Los números menores que m es (-∞;m)

Ejemplo: Números reales mayores o iguales que -1

X ≥ -1 

[-1 ; +∞]

NOTA: Si un intervalo se incluye sólo uno de los extremos, se dice que es intervalo es

SEMIABIERTO o SEMICERRADO

Ejemplo: Números reales mayores o iguales a -5 y menores a 2

-5 ≤ X < 2

[-5 ; 2)

Módulo 

Se llama módulo o valor absoluto de un número real a la distancia que hay entre el número y el 0.

Simbólicamente: Sea con X un número real su módulo se escribe I X I (barras de módulo).

Ejemplo: 

  

I -4 I = 4

I -1 I = 1

I 0 I = 0

I 1 I = 1

I 4 I = 4

♥ 1ra propiedad: Sí X ∈ a  se verifica en:
I X I es mayor o igual a 0 
I X I ≥ 0 

I C I = 9 
C = 9 ó C = -9 

♥ 2da propiedad: Sea a un número real positivo...

I C I = a              • Lecturas:  C = a  C = -a 

I C I < 9  (números reales cuyo módulo de menor a 9 distancia a 0).

De los números negativos verificar los mayores a -9.       C > -9

De los números positivos verificar los menores que 9.    C < 9

I C I < 9 entonces  -9 < ⊂ < 9     C ∈ (-9 ; 9)

♥ 3ra propiedad: 

I C I < 9 entonces  -9 < ⊂ < 9     C ∈ (-9 ; 9)

I C I > 9 (números reales cuyo módulo distancia al 0, sea mayor a 9).

I C I  > 9 entonces,  C > 9 ó C < -9  o sea, C ∈ (-∞ ; -9) ∪ (9 ; +∞)

♥ 4ta propiedad: 

I C I > a  entonces, C > a    C < -a  o sea, C ∈ (-∞ ; -a) ∪ (a ; +∞)

Programa de Matemática

UNIDAD Nº 1: Los números reales

• Los números enteros en la recta numérica. Las letras para representar números genéticos. El conjunto de números enteros. Relación de orden en Z. Noción de opuesto o inverso aditivo.
• Los números racionales en la recta numérica. Diferentes formas de representación de números racionales: fracciones y expresiones decimales. El conjunto de los números racionales. Relación de orden y desidad en Q.
• Los números irracionales en la recta numérica. Demostración de la no racionalidad de √2. Definición de número irracional. Encuadramiento de números irracionales.
• El conjunto de los números reales. Definición a partir de las relaciones de inclusión de completitud.
• Distancia entre números reales e intervalos de números. Módulo de un número real. Propiedades del módulo.

UNIDAD Nº 2: Ecuaciones e inecuaciones

• Ecuaciones lineales con una variable. Conjunto solución y ecuaciones equivalentes. Propiedades. Ecuaciones lineales con infinitas soluciones y sin solución.
• Resolución de ecuaciones en N, Z, Q y R.
• Inecuaciones lineales con una variable. Conjunto solución. Propiedades.
• Ecuaciones e inecuaciones con módulo.

UNIDAD Nº 3: Estudio de funciones

• Interpretación de gráficos y tablas que expresan relaciones entre magnitudes variables.
• Definición de función a partir de la terna dominio, codominio y ley de correspondencia. Imagen, preimagen y conjunto imagen.
• Estudio de funciones a partir de su gráfica. Conjunto de ceros, de positividad y de negatividad. Ordenada al origen. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
• Producción e interpretación de fórmulas para representar funciones. Notación simbólica f : A → B / y = f (x). Estudio de funciones a partir de su fórmula. Noción de función inversa.
• Sucesiones: Término general de una sucesión.

UNIDAD Nº 4: Funciones y ecuaciones cuadráticas

• El modelo cuadrático. La función cuadrática f : R → R / f (x) = x². Representación gráfica: la parábola. Características del gráfico: eje de simetría, vértice.
• Desplazamientos de la gráfica. Expresión canónica de la función cuadrática.
• Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Conjuntos de positividad y negatividad. Máximos, mínimos y ceros. Concavidad.
• Resolución de ecuaciones cuadráticas. Análisis del discriminante.
• Expresión polinómica y factorizada de la función cuadrática.
• Estudio completo de funciones cuadráticas. Problemas de máximos y mínimos.
• La parábola como lugar geométrico.

UNIDAD Nº 5: Polinomios

• Definición. Término principal y término independiente. Coeficiente principal. Grado. Polinomio mónico y polinomio nulo. 
• Operaciones con polinomios: suma, resta, producto y cociente.
• Raíces reales de un polinomio. Multiplicidad de las raíces. Teorema del resto. Regla de Ruffini. 
• Polinomios expresados como producto. Factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados. Teorema de Gauss. Factorización.

UNIDAD Nº 6: Combinatoria y probabilidad

• Problemas de conteo. Diagrama de árbol. Factorial de un número. Permutaciones y variaciones con y sin repetición. Combinaciones. Número combinatorio. Binomio de Newton.
• Probabilidad: Experimento aleatorio, espacio muestral y sucesos. Definición de Laplace. Sucesos seguro, imposible y excluyentes. Cáculo de probabilidad de un suceso. Propiedades.

Prof. Darío Wejchenberg